Fall 11 — Kragstütze unter kombinierter Axial- und Querbelastung (P-Delta-Effekt)
Eine senkrechte Kragstütze, an der Basis eingespannt und am oberen Ende frei, wird gleichzeitig durch eine Horizontalkraft und eine axiale (vertikale, drückende) Kraft am freien Ende belastet. Die Axialkraft verstärkt die Lateralverschiebung durch Effekte zweiter Ordnung (P-Delta). Dieser Verifizierungsfall prüft die geometrisch nichtlineare (P-Delta) Implementierung von RodX.
Beschreibung
Eine Kragstütze der Länge $L$, an der Basis eingespannt (alle drei Freiheitsgrade gehalten) und am oberen Ende frei. Eine horizontale Kraft $H$ und eine vertikale (axiale, drückende) Kraft $P$ werden gleichzeitig am freien Ende aufgebracht.
Gesucht (unter Berücksichtigung von Effekten zweiter Ordnung (P-Delta)):
- Lateralverschiebung am Stützenkopf
- Biegemoment am Stützenfuß
Statisches System
Geometrie, Lagerungsbedingungen und Lastanwendung im Verifizierungsmodell.
Modellparameter
| Parameter | Wert |
|---|---|
| Einheiten | m, kN |
| Elementtyp | Beam-column element (geometric nonlinearity enabled) |
| Material | Steel, $E = 2.1 \times 10^{8}$ kN/m² |
| Querschnittseigenschaften | $I = 8.014 \times 10^{-7}$ m⁴ |
| Länge | $L = 4$ m |
| Lagerungsbedingungen | Base node: fixed (all 3 DOF restrained); top node: free |
| Lasten | Horizontal load $H = 2$ kN and vertical (axial) load $P = 5$ kN at top node |
Analytische Lösung
Die Stütze wird durch die Differentialgleichung der Balken-Stütze beschrieben:
$$EI\,v''(x) + P\,v(x) = M_0(x)$$
wobei $M_0(x) = H(L - x)$ das Moment erster Ordnung aus der Horizontallast ist und $P$ durch den Parameter $k = \sqrt{\dfrac{P}{EI}}$ eingeht.
Durch Anwendung der Randbedingungen an der eingespannten Basis ($v(0) = 0$, $v'(0) = 0$) und Auswertung der Lösung am freien Ende ($x = L$) ergibt sich die geschlossene Lösung für die Kopfverschiebung:
$$\Delta = \frac{HL^3}{3EI}\left[\frac{3(\tan kL - kL)}{(kL)^3}\right]$$
Das Biegemoment an der Basis enthält den Beitrag zweiter Ordnung aus der durch die Lateralverschiebung wirkenden Axialkraft:
$$M_{\text{base}} = HL + P\Delta$$
Für die oben genannten Parameter:
$$kL = 0.6895$$
$$\Delta_{\text{theoretical}} = 313.219 \text{ mm}$$
$$M_{\text{base}} = -9.566\,\mathrm{kN{\cdot}m}$$
Numerische Ergebnisse
Verschiebungen
Biegemomentlinie
Vergleich
| Parameter | Theoretical | RodX |
|---|---|---|
| Δx(B), mm | 313.219 | 313.066 |
| M, kN·m | −9.565 | −9.566 |
Die numerischen Ergebnisse aus RodX stimmen mit der analytischen Lösung überein.