案例11 — 组合轴向和侧向荷载下的悬臂柱（P-Delta效应）

竖向悬臂柱底部固支、顶部自由，同时在自由端施加水平力和轴向（竖向压）力。轴力通过二阶（P-Delta）效应放大侧向挠度，使顶部位移大于一阶线性解。本案例验证RodX的几何非线性（P-Delta）实现。

描述

长度为$L$的悬臂柱，底部固支（三个自由度全约束），顶部自由。水平力$H$和竖向（轴向压）力$P$同时施加于自由端。

求（考虑二阶P-Delta效应）：

验证模型的几何形状、边界条件和荷载施加情况。

参数	数值
单位	m, kN
单元类型	Beam-column element (geometric nonlinearity enabled)
材料	Steel, $E = 2.1 \times 10^{8}$ kN/m²
截面属性	$I = 8.014 \times 10^{-7}$ m⁴
长度	$L = 4$ m
边界条件	Base node: fixed (all 3 DOF restrained); top node: free
荷载	Horizontal load $H = 2$ kN and vertical (axial) load $P = 5$ kN at top node

该柱由梁-柱微分方程控制：

$$EI\,v''(x) + P\,v(x) = M_0(x)$$

其中$M_0(x) = H(L - x)$是侧向荷载产生的一阶弯矩，$P$通过参数$k = \sqrt{\dfrac{P}{EI}}$进入方程。

将固定端边界条件（$v(0) = 0$，$v'(0) = 0$）代入，并在自由端（$x = L$）处求解，得到顶部位移的闭合形式表达式：

$$\Delta = \frac{HL^3}{3EI}\left[\frac{3(\tan kL - kL)}{(kL)^3}\right]$$

基底弯矩包含轴力通过侧向位移产生的二阶贡献：

$$M_{\text{base}} = HL + P\Delta$$

对于上述参数：

$$kL = 0.6895$$

$$\Delta_{\text{theoretical}} = 313.219 \text{ mm}$$

$$M_{\text{base}} = -9.566\,\mathrm{kN{\cdot}m}$$

Parameter	Theoretical	RodX
Δx(B), mm	313.219	313.066
M, kN·m	−9.565	−9.566

RodX获得的数值结果与解析解吻合。