Caso 11 — Columna en voladizo con carga combinada axial y lateral (Efecto P-Delta)
Una columna en voladizo vertical, empotrada en la base y libre en la parte superior, está cargada simultáneamente por una fuerza lateral (horizontal) y una fuerza axial (vertical) de compresión aplicada en el extremo libre. La fuerza axial amplifica la deflexión lateral a través de efectos de segundo orden (P-Delta), produciendo un desplazamiento superior mayor de lo que predeciría la solución de primer orden (lineal). Este caso de verificación valida la implementación de la no linealidad geométrica (P-Delta) de RodX.
Descripción
Una columna en voladizo de longitud $L$, empotrada en la base (los tres grados de libertad restringidos) y libre en la parte superior. Una fuerza horizontal $H$ y una fuerza vertical (axial, de compresión) $P$ se aplican simultáneamente en el extremo libre.
Determinar (considerando los efectos de segundo orden (P-Delta)):
- Desplazamiento lateral en la parte superior de la columna
- Momento flector en la base de la columna
Esquema estructural
Geometría, condiciones de borde y aplicaciones de carga utilizadas en el modelo de verificación.
Parámetros del modelo
| Parámetro | Valor |
|---|---|
| Unidades | m, kN |
| Tipo de elemento | Beam-column element (geometric nonlinearity enabled) |
| Material | Steel, $E = 2.1 \times 10^{8}$ kN/m² |
| Propiedades de la sección | $I = 8.014 \times 10^{-7}$ m⁴ |
| Longitud | $L = 4$ m |
| Condiciones de borde | Base node: fixed (all 3 DOF restrained); top node: free |
| Cargas | Horizontal load $H = 2$ kN and vertical (axial) load $P = 5$ kN at top node |
Solución analítica
La columna se rige por la ecuación diferencial de viga-columna:
$$EI\,v''(x) + P\,v(x) = M_0(x)$$
donde $M_0(x) = H(L - x)$ es el momento de primer orden de la carga lateral, y $P$ entra a través del parámetro $k = \sqrt{\dfrac{P}{EI}}$.
Aplicando las condiciones de borde de una base empotrada ($v(0) = 0$, $v'(0) = 0$) y evaluando la solución en el extremo libre ($x = L$) se obtiene la deflexión superior en forma cerrada:
$$\Delta = \frac{HL^3}{3EI}\left[\frac{3(\tan kL - kL)}{(kL)^3}\right]$$
El momento flector en la base incluye la contribución de segundo orden de la fuerza axial actuando a través del desplazamiento lateral:
$$M_{\text{base}} = HL + P\Delta$$
Para los parámetros anteriores:
$$kL = 0.6895$$
$$\Delta_{\text{theoretical}} = 313.219 \text{ mm}$$
$$M_{\text{base}} = -9.566\,\mathrm{kN{\cdot}m}$$
Resultados numéricos
Desplazamientos
Diagrama de momento flector
Comparación
| Parameter | Theoretical | RodX |
|---|---|---|
| Δx(B), mm | 313.219 | 313.066 |
| M, kN·m | −9.565 | −9.566 |
Los resultados numéricos obtenidos con RodX están en concordancia con la solución analítica.