Caso 11 — Colonna a sbalzo con carico assiale e laterale combinati (Effetto P-Delta)
Una colonna a sbalzo verticale, incastrata alla base e libera in sommità, è caricata simultaneamente da una forza laterale (orizzontale) e una forza assiale (verticale, di compressione) applicate all'estremità libera. La forza assiale amplifica la deflessione laterale attraverso gli effetti del secondo ordine (P-Delta). Questo caso valida l'implementazione della non linearità geometrica (P-Delta) di RodX.
Descrizione
Una colonna a sbalzo di lunghezza $L$, incastrata alla base (tutti e tre i gradi di libertà vincolati) e libera in sommità. Una forza orizzontale $H$ e una forza verticale (assiale, di compressione) $P$ sono applicate simultaneamente all'estremità libera.
Determinare (tenendo conto degli effetti del secondo ordine (P-Delta)):
- Spostamento laterale alla sommità della colonna
- Momento flettente alla base della colonna
Schema strutturale
Geometria, condizioni al contorno e applicazione dei carichi nel modello di verifica.
Parametri del modello
| Parametro | Valore |
|---|---|
| Unità di misura | m, kN |
| Tipo di elemento | Beam-column element (geometric nonlinearity enabled) |
| Materiale | Steel, $E = 2.1 \times 10^{8}$ kN/m² |
| Proprietà della sezione | $I = 8.014 \times 10^{-7}$ m⁴ |
| Lunghezza | $L = 4$ m |
| Condizioni al contorno | Base node: fixed (all 3 DOF restrained); top node: free |
| Carichi | Horizontal load $H = 2$ kN and vertical (axial) load $P = 5$ kN at top node |
Soluzione analitica
La colonna è governata dall'equazione differenziale della trave-colonna:
$$EI\,v''(x) + P\,v(x) = M_0(x)$$
dove $M_0(x) = H(L - x)$ è il momento del primo ordine dovuto al carico laterale, e $P$ entra attraverso il parametro $k = \sqrt{\dfrac{P}{EI}}$.
Applicando le condizioni al contorno della base incastrata ($v(0) = 0$, $v'(0) = 0$) e valutando la soluzione all'estremità libera ($x = L$) si ottiene lo spostamento in sommità in forma chiusa:
$$\Delta = \frac{HL^3}{3EI}\left[\frac{3(\tan kL - kL)}{(kL)^3}\right]$$
Il momento flettente alla base include il contributo del secondo ordine dalla forza assiale che agisce attraverso lo spostamento laterale:
$$M_{\text{base}} = HL + P\Delta$$
Per i parametri indicati:
$$kL = 0.6895$$
$$\Delta_{\text{theoretical}} = 313.219 \text{ mm}$$
$$M_{\text{base}} = -9.566\,\mathrm{kN{\cdot}m}$$
Risultati numerici
Spostamenti
Diagramma del momento flettente
Confronto
| Parameter | Theoretical | RodX |
|---|---|---|
| Δx(B), mm | 313.219 | 313.066 |
| M, kN·m | −9.565 | −9.566 |
I risultati numerici ottenuti con RodX sono in accordo con la soluzione analitica.